电缆电成像测井仪器极板上采用高密度阵列纽扣电极排布，工作时通过机械臂张开推靠极板，使得纽扣电极贴靠在井壁上，监测纽扣电极上电流变化实现井壁的电性参数测量^[1-4]。该类仪器通常借助多个极板组合，从不同方位同时测量，实现井壁地层的高分辨率成像。电成像图像能够直观获取地层沉积构造、岩性、裂缝、孔洞特征等地质信息^[5-6]，在油气勘探开发中发挥着重要作用，并获得了广泛的应用。随着石油勘探开发逐渐走向深层，非均质地层、钻井液体系多样、高温高压等复杂井况，使得井眼测量环境变得复杂^[6-8]，一定程度上影响了电缆电成像仪器的成像测量效果，从而产生图像模糊、极板间图像均衡性差等不良影响^[9]。针对此影响，前人曾通过联通区域识别^[10]、小波变换^[11-12]、阈值去噪^[7]、神经网络^[13-16]等方法，开展了图像处理和解释评价方法研究。对于油基钻井液电成像仪器，由于极板间隙的不确定性，基于单频测量数据无法对图像质量进行有效提升，且针对某一应用开展的方法研究只对特定的井或者现象有效，应用局限性大。为满足油基钻井液环境中的高质量电成像测量需求，提升井壁地层的成像清晰度，多频电成像测量成为一种发展趋势^[3]。笔者从多频油基电成像测井仪器的工作原理出发，考察极板间隙对多频电成像仪器测量值的影响规律，开展极板间隙校正方法研究，消除测量环境对成像效果的影响，改善图像质量。以中海油服多频油基钻井液电成像仪器测井数据为例，对数据资料开展极板间隙校正处理。

1 多频电成像数值仿真方法

以中海油服六极板多频电成像测井仪器^[17]（简称MFIT）为例，每块极板上分布上下两排共15个钮扣电极（从左到右，上排纽扣标记为B1~B7，下排纽扣标记为B8~B15），适用于152.4~311.15 mm井眼，井壁成像覆盖率86.2%~42.2%，工作时采用3种工作频率（200 kHz、1 MHz和5 MHz），其发射区结构示意图如图1所示。

有限元素法能够模拟几何外型比较复杂的物体^[18-19]，特别适用于电成像测井中电流场的求解，采用三维有限元素法模拟多频油基电成像测井的方法原理。根据电磁场理论将多频电成像数值模拟问题归结为求解给定边值条件的微分方程：

式中，$\nabla$为矢量微分算符；σ为电导率；J为电流密度；u为待求解的电压值。

设求解区域为Ω，发射电极区域为Γ，采用Ritz方法将上述所求的边值问题转换为能量泛函φ的极值问题：

式中，（x，y，z）为直角坐标系坐标；u（x，y，z）为电位；I为电流。

电成像测井仪器的响应可归纳为稳流电场计算，此时微分方程式（1）展开得

其满足的边界条件如下。

第一类边界条件：在恒压电极上，u为已知常数；其中在无穷远边界上，这个已知常数为零；在恒流电极上，u为未知常数。

第二类边界条件：在恒流电极表面，

式中，I_A为恒流电极电流；σ_m为钻井液电导率；θ为电极表面区域；n为电流方向矢量。

在绝缘边界面上，$\frac{\partial u}{\partial n}=0\text{。}$

结合式（2），根据上述定解问题构造出的泛函数为

$\phi =\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\sigma \left[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)}^2\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z-$

$\sum _{\mathrm{\Gamma }}{I}_{\mathrm{E}}{u}_{\mathrm{E}}={\phi }_1+{\phi }_2.$

其中

$\begin{array}{c}{\phi }_1=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\sigma \left[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)}^2\right]dxdydz\\ {\phi }_2=-\sum _{\mathrm{\Gamma }}{I}_{\mathrm{E}}{u}_{\mathrm{E}}.\end{array}$

式中，Ω为仪器表面和无穷远边界所包围的整个求解空间；I_E为电极电流；U_E为电极电位。

利用有限元素法对空间进行剖分，形成四面体网格，选择基函数求解上述方程。定义电扣发射电压为U、电扣电流为I、仪器常数为K，则根据欧姆定律，电扣测量的视电阻率R可由下式计算出：

这里U的数值即为钮扣电极与回路电极之间的电位差，是一个恒定值。仪器实际测量得到的是电流实部与虚部，因此由式（6）可知，视电阻率R也是一个复数量。测井中视电阻率可以表示为

式中，C为视电导率; σ为地层电导率; ω为仪器的工作角频率; ε为地层介电常数。

I_R、I_X分别表示电流的实部、虚部，则由式（6）、式（7）可得

依据数学上复数相等关系和电磁场中介电常数和真空介电常数关系，由式（7）、式（8）可得

式中，ε_r为相对介电常数；ε₀为真空中介电常数。

由上述公式的推导可以看出，仪器所测得的电流实部信号与地层的视电阻率相关，而电流虚部信号与地层的介电常数相关。

2 多频电成像影响规律仿真分析

2.1 数值仿真方法精度验证

三维有限元素仿真方法具有原理相对简单、编程易于实现、计算效率高的优势。为了验证有限元仿真结果的正确性，使用Pro/E软件对仪器结构进行三维建模，然后通过COMSOL软件对仪器的探测特性进行仿真，与三维有限元素法仿真结果进行对比验证。模型参数设置如下：井眼直径0.225 m，工作频率1、5 MHz，钻井液电阻率1000 Ω·m，钻井液相对介电常数10，地层电阻率1000 Ω·m，地层相对介电常数10，极板数1。

表1对比频率1 MHz条件下三维有限元素法模拟与COMSOL商业软件模拟结果。其中B1~B15分别代表纽扣1~纽扣15的编号，二者相对误差小于2.1%，计算精度可靠。表2中对比5 MHz高频情况下模拟结果与COMSOL商业软件模拟结果。二者相对误差小于4.6%，表明随着频率的增加，相对误差有增大趋势，但研究的多频电成像仪器最高工作频率为5 MHz，最大误差在可接受范围之内，计算精度满足研究需要。

2.2 仪器探测深度与分辨率

利用伪几何因子J_xo^[16]等于0.5时对应的侵入深度，定义为仪器在不同工作频率（0.2、1、5 MHz）下的探测深度，设置地层模型1如图2所示，其中R_t为地层电阻率，R_m为钻井液电阻率，R_xo为侵入带电阻率。

MFIT共6块极板，每块极板上15个纽扣，以其中一块极板为例，计算结果如图3。图中红色曲线为频率200 kHz时纽扣电极几何因子，蓝色曲线为频率1 MHz时纽扣电极几何因子，粉色曲线为频率5 MHz时纽扣电极几何因子，相同颜色的细线为相同频率极板上不同纽扣电极计算值。从图3中可知，5 MHz响应探测深度0.11 m，200 kHz响应探测深度0.16 m，表明随着工作频率的降低，仪器探测深度也在增加。对比相同工作频率不同纽扣响应间差异，扣电极探测深度差异很小，探测深度一致性较好，表明单个纽扣探测深度能够代表该频率下所有纽扣探测深度。

考察仪器在不同工作频率（0.2、1、5 MHz）下的薄层分辨能力，建立地层模型2如图4所示。

通过三维有限元素法对上述模型进行仿真计算，可得模型条件下纽扣电极测量电流，继而通过欧姆定律计算视阻抗，结果如图5所示。进一步可通过式（9）、式（10）将视阻抗转换成与模型参数一致的视电阻率，由于电阻率与阻抗存在一个倍数关系，二者探测特性相同，井场通常以阻抗成像进行地层评价，以阻抗响应规律进行探测特性考察。由探测深度模拟结果可知，各纽扣相同频率下信号一致性好，这里分辨率考察以单纽扣响应特征分析为例。计算结果可以看出，工作频率越大，分辨率越高，符合一般认识；层厚0.5 cm时仍然可以有效识别，表明MFIT仪器具有高分辨率特性。

2.3 极板间隙影响

油基钻井液环境中钻井液电阻率远高于地层电阻率，极板与井壁的间隙/油膜是阻碍电流流向地层的关键因素。为考察极板与井壁间隙对测量信号的影响，设置如图2所示的均匀无限厚模型，仪器工作频率1 MHz，极板间隙变化范围0~10 mm，模拟结果见图6。

从图6可以看出，1 MHz工作频率条件下，极板间隙主要对低阻区域影响大，具体为：①无极板间隙时，视阻抗随电阻率变化呈现近似线性递增关系，通过刻度系数可以将视阻抗转换为视电阻率；②当存在极板间隙时，视阻抗随电阻率改变呈非线性变化，尤其是电阻率小于10 Ω·m时，视阻抗随着电阻率减小基本不变，电阻率与视阻抗存在一对多的关系，利用视阻抗进行电阻率刻度存在多解性；③极板间隙越大对视阻抗影响越大。在电阻率大于1000 Ω·m的高阻区域，随着电阻率增加，视阻抗增幅逐渐减小，此时主要受介电效应的影响^[9]。

2.4 频率响应特征

多频电成像测井仪器有两种以上工作频率，以MFIT仪器为例，有3种工作频率，从探测深度和分辨率考察结果可知，不同频率具有明显的探测深度和分辨率差异。设置如图2所示无限厚模型，极板与井壁极板间隙1 mm，工作频率10 kHz~10 MHz，分析极板间隙对不同工作频率条件下信号的影响，结果如图7所示。可以看到，在低阻区域（电阻率小于10 Ω·m），频率越低，视阻抗受极板间隙影响越大，视阻抗随电阻率减小变化幅度越小；在高阻区域（电阻率大于1000 Ω·m），频率越高视阻抗受介电常数影响越大，视阻抗随电阻率增加变化幅度越小。

综上，极板间隙对低阻区域影响大，介电效应对高阻区域影响大，不同频率受极板间隙与地层介电常数的影响程度不同，不同频率信号响应值有显著的差异，通过频率间信号差异开展极板间隙和介电常数反演，进一步进行视阻抗极板间隙校正和介电常数校正是可行的。

3 多频电成像测量校正方法

3.1 趋肤深度校正

当被测地层的电阻率比较小时，多频工具激励源激发的电磁波在地层中传播会受到趋肤效应的影响，使得频率校正等效电路模型中的各电路参数在仪器频率改变时不再是一个常数，因此在进行极板间隙和介电常数校正前先进行趋肤深度校正处理是必要的。在电磁场理论中，趋肤深度δ定义为

其中

$\omega =2\pi f.$

式中，ω为对应工作频率f下的角频率；μ为磁导率。

为了确定上述等效电路模型中的5个电路参数，至少需要5个相互独立的方程，单一工作频率测量时，测量结果只能提供两个相互独立的方程（实部和虚部响应），因此使用3种工作频率可以提供6个相互独立的方程，用于确定等效电路模型中的全部电路参数。

3 种不同工作频率下的有效阻抗Z_ei（i=1，2，3）可以表示为

建立地层视电阻与工作频率一阶线性函数关系：

将式（13）代入式（12）整理可得

3 种不同频率下测量得到的有效阻抗可以表示为

由3种频率测量得到的有效阻抗实部和虚部，与等效电路模型计算得到的实部和虚部对应相等，可以得到6个非线性方程，形成方程组并求解，获得5个未知电路参数（r、C、K、R_f0、L）。

多频测井数据的趋肤校正是通过将视电导率曲线进行分段，每段用一个函数逼近来实现，对于任一地层的电导率测量值σ_ac，其趋肤效应校正的电导率值σ_tc为

其中

$m_c=\frac{{\sigma }_{c+1}-{\sigma }_c}{{\sigma }_{\mathrm{a}(c+1)}-{\sigma }_{\mathrm{a}c}},a_c=\frac{{\sigma }_c{\sigma }_{\mathrm{a}(c+1)}-{\sigma }_{c+1}{\sigma }_{\mathrm{a}c}}{{\sigma }_{\mathrm{a}(c+1)}-{\sigma }_{\mathrm{a}c}}.$

式中，m_c为乘因子; a_c为加因子。

根据测量电导率，利用趋肤效应校正的电导率值进行线性逼近，进行趋肤效应校正。

3.2 极板间隙反演与校正

趋肤效应校正可以消除频率对电路参数和测井信号的影响，但是极板间隙的影响依然存在。不同频率信号探测深度的差异，使得极板间隙中填充钻井液对各频率信号影响程度不同，通过设置频率测量信号交互构建多频交互图版，并通过变化钻井液电阻率形成图版库，联合多个频率信号进行极板间隙计算和极板间隙影响校正。多频交互图版计算设置如图2所示地层模型，通过循环相应的模型参数如井径、地层电阻率、钻井液电阻率、极板间隙，按模型参数特定顺序排列，形成图版数据库。以地层电阻率0.1~10000 Ω·m，钻井液电阻率1000 Ω·m，极板间隙范围为0~25.4 mm为例，以低频200 kHz模拟的阻抗模值响应为横坐标，以高频5 MHz模拟的阻抗模值响应为纵坐标，绘制低频-高频极板间隙影响交汇图版，如图9所示。图中实线是极板间隙固定、电阻率变化模拟的阻抗信号响应曲线；虚线为电阻率固定、极板间隙变化模拟阻抗响应曲线。

从图9可见，当极板间隙一定时，随着地层电阻率的增大，阻抗信号增大，高频信号增长幅度在低阻区大与低频信号增长速度，在高阻区小于低频信号增长速度，表明地层电阻率越高对高频信号影响越大；当地层电阻率一定时，随着极板间隙的增大，阻抗信号增大，低频增长速度先大于高频增长速度，后小于高频增长速度，表明间隙越大对低频信号影响越大。不同频率信号交汇形成一个“蝉翼”状交汇图版，通过该图版可以预估地层电阻率和极板间隙。当存在3种或者3种以上工作频率测井时，可以通过频率的两两组合形成一系列交互图版组合。极板间隙反演和校正通过查询图版实现：根据已知的工作频率、钻井液信息，在图版库中定位到对应的图版组合，对应两种以上频率情况，采用基于最小二乘方法和快速查图版结合的迭代反演。建立目标函数：

式中，m为满足条件交互图版的个数；x为待反演参数（极板间隙、地层电阻率）; r为关于参量x与图版中测井响应对应关系；y为测量值按频率交互图版坐标定义形成的响应组合。通过马奎特最速下降方法进行迭代求解式（17），获取最优解作为极板间隙查询结果和电阻率校正结果，实现测井响应视阻抗向视电阻率的转换。

3.3 多频相位分析与校正

根据模拟结果可将仪器量程范围电阻率分为3个区域：小于10 Ω·m低阻区域，测量阻抗受极板间隙影响大；10~1000 Ω·m，测量视阻抗与电阻率基本成单调递增关系；大于1000 Ω·m区域，测量视阻抗受介电常数影响大。对于低阻区域，尤其是电阻率小于1 Ω·m时，阻抗测量值随电阻率变化不明显，此时通过前文极板间隙反演和校正方法计算电阻率存在多解性。为解决这一问题，在仪器恒压工作模式下，分析接收电流信号幅度、相位随电阻率变化。设置如图2模型，极板间隙取值2.5、5、10、20 mm，分别计算200 kHz、1MHz、5 MHz工作频率下电流幅度和相位，结果如图10所示。

从图10可以看出，在低阻区域（电阻率小于10 Ω·m）：电流幅度随电阻率增加变化不明显，这也是根据欧姆定律计算得到视阻抗变化不明显的原因；5 MHz工作频率的电流相位值随电阻率增加明显减小，变化明显。进一步，通过高频（5 MHz）与低频（200 kHz）电流相位值做差值，可得电流相位差值随电阻率变化关系（图11，右图为低阻区域放大图）。相位做差值处理有助于消除系统误差，基于当前常见检测电路相位灵敏度0.1°的技术条件下，在低阻（电阻率小于10 Ω·m）或超低阻（电阻率小于1 Ω·m）区域，利用5 MHz与200 kHz相位差值按图11关系刻度电阻率，解决反演过程中低阻区域多解性是可行的。电阻率小于10 Ω·m，相位差随电阻率减小单调增加，通过两种频率测量相位差及3.1节迭代反演估算的极板间隙，利用数值仿真计算该间隙条件下相位差-电阻率转换关系，以实现低频电阻率定量计算。

电阻率在10~1000 Ω·m区域，视阻抗随电阻率严格单调递增，可以根据图6中视阻抗和电阻率对应关系，用频率交互图版法（图9）进行视电阻率转换和极板间隙反演。对于电阻率大于1000 Ω·m的高阻区域，频率越高，受介电常数影响越大，视阻抗随地层电阻率增加变化不明显，需要进行相应介电校正与反演，该方面相关研究较多^[9，17]，这里不再赘述。

3.4 应用效果分析

图12为多频油基电成像仪器MFIT试验井中极板间隙校正前后图像对比，该井井径0.2159 m，由多层砂岩和石灰岩堆砌而成，中间开孔形成井眼，井筒内壁凿刻花纹并用导电水泥回填后打磨光滑，油基钻井液电阻率约1000 Ω·m。图12中第一道为深度道，第二道为200 kHz测量信号成像道，第三道为1 MHz测量信号成像道，第四道为5 MHz测量信号成像道，第五道为3种频率联合极板间隙校正后成像道。前半段（19.85~20.55 m）高阻区域，低频信号测量成像图像相对更清晰，5 MHz频率成像信号受环境影响最大；后半段（20.55~21.6 m）低阻区域，1 MHz频率成像显示井壁花纹纹理对比度更明显，成像清晰度优于200 kHz频率成像图像，由于井眼中钻井液、极板间隙等影响，高阻区域花纹边缘模糊、低阻区域花纹与背景对比度低，图像质量一般。第五道为井眼极板间隙校正后成像图像，校正后花纹边缘清晰度明显提高，低阻区花纹与背景对比度明显提升，校正后的图像清晰度优于200 kHz、1 MHz和5 MHz成像图像。

4 结论

（1）不同工作频率电成像仪器探测深度有差异，极板间隙对不同频率信号影响程度不同，低阻地层环境下低频测量受极板间隙影响大，高阻地层环境下高频测量受极板间隙影响大，单一频率工作模式无法同时解决低阻、中阻、高阻全覆盖情况下的极板间隙影响，借助多频联合测量是有效的解决方法。

（2）极板间隙会导致电成像图像出现图像模糊、均衡性差等问题，在仪器信号响应特征考察基础之上，联合多种频率信号进行极板间隙快速计算和极板间隙校正，花纹井实测资料测试表明，极板间隙校正可以有效提高图像清晰度。

（3）该方法也适用于其他类型的油基钻井液电成像仪器，如贝克休斯的Earth Imager等，为油基钻井液电成像测井环境校正与图像处理提供了新思路，在生产中具有广泛的应用价值。

参考文献