基于多重定时截尾数据的FCV供氢系统设备可靠性建模与维修优化

王海清，王丹，袁卫华，左鸿谔; WANG Haiqing; WANG Dan; YUAN Weihua; ZUO Honge

引 en

基于多重定时截尾数据的FCV供氢系统设备可靠性建模与维修优化

王海清¹
，王丹¹
，袁卫华²
，左鸿谔¹

1. 开云电竞投注(华东)机电工程学院, 山东青岛 266580； 2. 江苏城乡建设职业学院, 江苏常州 213147；

Equipment reliability modeling and maintenance optimization for FCV hydrogen supply system based on multiple timing censored data

WANG Haiqing¹
， WANG Dan¹
， YUAN Weihua²
， ZUO Honge¹

1. College of Mechanical and Electronic Engineering, China University of Petroleum(East China), Qingdao 266580 , China； 2. Jiangsu Urban and Rural Construction College, Changzhou 213147 , China；

作者简介:

王海清（1974-），男，教授，博士，博士生导师，研究方向为氢能风险管控、安全仪表系统、工艺灾害分析等。E-mail: wanghaiqing@upc.edu.cn。

通信作者:

王海清（1974-），男，教授，博士，博士生导师，研究方向为氢能风险管控、安全仪表系统、工艺灾害分析等。E-mail: wanghaiqing@upc.edu.cn。

中图分类号:X937

文献标识码:A

文章编号:1673-5005(2025)06-0191-06

DOI:10.3969/j.issn.1673-5005.2025.06.019

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出版信息

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摘要Abstract
关键词Keywords
1 威布尔分布模型及点估计方法
1.1 寿命试验及威布尔分布模型
1.2 现有点估计方法
2 融合最大熵理论的EBWL方法及算法流程
2.1 EBWL可靠度点估计
2.2 EBWL可靠度区间估计
3 FCV车辆的供氢系统设备数值分析
3.1 数值模拟试验
3.2 冷却回路风扇可靠度估计
4 结束语
参考文献

摘要

中国燃料电池汽车产业正处于起步阶段，在具有广阔前景的同时也存在着设备可靠度及维修策略研究相对薄弱的问题。提出一种集成改进贝叶斯和最小二乘的协同算法以解决其中高可靠性多重截尾估计问题，能够在统一框架下同时获得点估计和区间估计并通过试验模拟验证其可用性；以FCV供氢系统冷却回路风扇为例进行工程应用。结果表明：量化确定了最优的理论检测维护时间为3667 h，置信下限估计为2205 h；相比MLE，提升了19%,通过设置试验模拟和算例分析验证了所提出方法的精确性、稳健性及合理性。

Abstract

China’s fuel cell vehicle industry is in infancy. While it holds great prospects, there is the problem of relatively weak research on equipment reliability and maintenance strategies. A synergistic algorithm integrating improved Bayesian and least squares was proposed to solve the problem of highly reliable multiple censored estimation therein, which was capable of obtaining both point estimation and interval estimation in a unified framework and verifying its usability through experimental simulations. The cooling circuit fan of the FCV hydrogen supply system was taken as an example for engineering application. The results indicate that the optimal theoretical inspection and maintenance time of 3667 h is quantitatively determined, and the lower confidence limit is estimated to be 2205 h with an improvement of 19% compared to the MLE. The accuracy, robustness and rationality of the proposed method are verified through the experimental simulations and case analysis.

关键词

燃料电池汽车；贝叶斯理论；多重定时截尾；高度右截尾；区间估计

Keywords

fuel cell vehicle(FCV) ； Bayesian strategy ； multiple timing censored data ； heavily right censored data ； interval estimation

质子交换膜燃料电池（PEMFC）是氢燃料电池汽车（FCV）的动力核心，供氢系统在PEMFC系统组成中占据重要地位，其部件的正常运行对提高FCV的安全性具有重要意义。在能源转型趋势下氢能相关产业发展可促进新型能源体系建设^[1]。在实际氢能设施/设备的完整性管理活动中，相关设备往往会在不同时段投用或者停机，因而收集到的设备寿命数据形成了多重截尾的数据形式。现今涉氢设备还相对较少且可靠度逐步提高使得其使用寿命普遍延长，导致出现数据样本较少、高度右截尾数据普遍的情况，传统可靠性估计方法存在适用性较差的问题，给FCV供氢系统设备可靠度估计带来一定困难。现有估计方法大致分为最小二乘法、极大似然法和贝叶斯理论。普通最小二乘法需要至少两个（以上）失效数据才能进行拟合，因而对高度右截尾数据的应用较为局限^[2-3]。极大似然法是较常用的参数估计方法之一，但在小样本和高度右截尾数据下存在一定偏差且计算较复杂^[4]。贝叶斯理论可融合多种先验信息^[5-6]，经典应用期望贝叶斯和分层贝叶斯^[7]理论在失效概率估计中需要额外注意概率的次序性问题。笔者使用FCV供氢系统设备多重定时下的具有高度右截尾特征的数据，提出融合最大熵理论的熵-贝叶斯加权最小二乘估计方法EBWL（entropy-Bayes weighted least square method）并提供相应的区间估计方法；最后通过设置试验模拟和算例分析进行方法间的对比验证所提出方法的精确性、稳健性以及合理性。
1 威布尔分布模型及点估计方法
1.1 寿命试验及威布尔分布模型
多重定时截尾试验数据是将收集到的n个寿命数据按是否相等的标准进行合并，由此得到k个数据组，每组n_i个单元。由此可知多重定时截尾的数据特征是每组的数据值t_i可能同时包含了失效数据t_fi和截尾数据t_si两种含义。将每组包含失效样品的个数表示为r_i，并以r_i区分t_i代表的已失效设备和仍在运行设备的个数。另外设置s_i表示t_i时刻仍在运行的样品数量，并设置 $s_{i} = \sum_{j = i}^{k} n_{j}$ 。经过以上设置可获得数据类型（t_i，n_i，r_i，s_i）。其中，0 ≤r_i≤n_i，t₁＜t₂＜···＜t_k， $\sum_{i = 1}^{k} n_{i}$ =n，i=1，···，k。
采用双参数威布尔分布作为背景统计模型，其分布函数F（t）为

F (t : m, η) = 1 - e x p [- {(\frac{t}{η})}^{m}], t > 0, m > 0, η > 0 .

(1)

式中，m为形状参数；η为尺度参数。
相应的概率密度函数f（t）及可靠性函数R（t）分别为

f (t : m, η) = \frac{m}{η} {(\frac{t}{η})}^{m - 1} e x p [- {(\frac{t}{η})}^{m}] .

(2)

R (t : m, η) = e x p [- {(\frac{t}{η})}^{m}] .

(3)

1.2 现有点估计方法
（1）极大似然估计（MLE）。相应的样本数据的似然函数为

L (t_{i} : m, η) = \prod_{i = 1}^{k} f {(t_{i} : m, η)}^{r_{i}} R {(t_{i} : m, η)}^{n_{i} - r_{i}} .

(4)

通过求解多重截尾数据的极大似然函数进而求解m和η的估计值^[8]：

Y (m) = \frac{1}{m} - \frac{\sum_{i = 1}^{k} (n_{i} t_{i} l n t_{i})}{\sum_{i = 1}^{k} n_{i} t_{i}} + \frac{\sum_{i = 1}^{k} r_{i} l n t_{i}}{\sum_{i = 1}^{k} r_{i}} = 0 .

(5)

{\hat{η}}_{m} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{k} n_{i} t_{i}^{\hat{m}}}{\sum_{i = 1}^{k} r_{i}})}^{\frac{1}{\hat{m}}} .

(6)

（2）最小二乘估计法（LSE）。将威布尔函数进行双对数变换转化成y=ax+b形式进行回归拟合，可使用中位秩排名方法计算^[9]，即

\hat{F} (t_{i}) = \frac{i - 0.3}{n + 0.4} .

(7)

对于截尾数据，定义δ的值。当r_i＞0时，取δ_i=1，反之为0，同时根据r_i展开数据量。令 ${\hat{y}}_{i} = l n [- l n (1 - {\hat{F}}_{i})] ， x_{i} = l n t_{i} ，$ 当 $\sum_{i = 1}^{k} δ_{i} {({\hat{y}}_{i} - m x_{i} - b)}^{2}$ 最小时，m、η点估计值分别为

{\hat{m}}_{1} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} δ_{i} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} {\hat{y}}_{i} δ_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} ({\hat{y}}_{i} δ_{i}) \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} δ_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} δ_{i} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} δ_{i})}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} δ_{i})}^{2}} .

(8)

{\hat{η}}_{1} = e x p (\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} δ_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} δ_{i}} - \frac{\sum_{i = 1}^{n} ({\hat{y}}_{i} δ_{i})}{{\hat{m}}_{1} \sum_{i = 1}^{n} δ_{i}}) .

(9)

（3）贝叶斯理论中，较为经典的方法包括期望贝叶斯和分层贝叶斯方法，失效概率点估计公式为

{\hat{p}}_{i} (a, b) = \frac{a + r_{i}}{a + b + s_{i}} .

(10)

{\hat{p}}_{i}^{E} = \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{1}{c - 1} {\hat{p}}_{i} (a, b) d a d b

(11)

{\hat{p}}_{i}^{H} = \frac{\int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{B (a + r_{i} + 1, b + s_{i} - r_{i})}{B (a, b)} d a d b}{\int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{B (a + r_{i}, b + s_{i} - r_{i})}{B (a, b)} d a d b} .

(12)

其中，c=5。由于t₁＜···＜t_k，且p_i=F（t_i），因而失效概率应符合p₁＜···＜p_k的关系^[5]，因此只有当 ${\hat{p}}_{i}^{E}$ 以及 ${\hat{p}}_{i}^{H}$ 满足以上次序性时方可进行m与η的点估计计算。
2 融合最大熵理论的EBWL方法及算法流程
2.1 EBWL可靠度点估计
由于数据的高可靠性，其他方法难以给出大量截尾数据对应的 ${\hat{p}}_{}$ ，而利用贝叶斯理论可获得任意t_i处对应的 ${\hat{p}}_{i}$ ，假定p_i的验前分布为Beta分布^[8]，表达式为

π (p_{i} : a_{i}, b_{i}) = \frac{p_{i}^{a_{i} - 1} {(1 - p_{i})}^{b_{i} - 1}}{B (a_{i}, b_{i})} .

(13)

其中
$B (a, b) = \int_{0}^{1} x^{a_{i} - 1} (1 - x)^{b_{i} - 1} d x$
由式（13）可得p_i的先验分布矩为

p_{i}^{prior} = \frac{a_{i}}{a_{i} + b_{i}} .

(14)

根据贝叶斯公式可求得失效概率的验后分布并以其矩作为p_i的点估计值^[8]：

π (p_{i} : a_{i}, b_{i}) = \frac{p_{i}^{a_{i} + r_{i} - 1} (1 - p_{i}) b_{i} + s_{i} - r_{i} - 1}{B (a_{i} + r_{i}, b_{i} + s_{i} - r_{i})} .

(15)

{\hat{p}}_{i} = \frac{a_{i} + r_{i}}{a_{i} + b_{i} + s_{i}} .

(16)

为求a_i、b_i而引入p_i
后验分布的熵函数 ^[8]，表示为
$H (a_{i}, b_{i}) = l n B (a_{i}, b_{i}) - (a_{i} - 1) [φ (a_{i}) - φ (a_{i} + b_{i})] -$

(b_{i} - 1) [φ (b_{i}) - φ (a_{i} + b_{i})] .

(17)

其中， $φ （ x ） = \frac{d}{d x} l n \int_{0}^{+ \infty} y^{x - 1} e x p （ - y ） d y 。$
设置优化模型求得离散超参数a_i、b_i^[8]，约束为

\{\begin{matrix} s . t . m a x H (a_{i}, b_{i}) \\ p_{i - 1}^{prior} < p_{i}^{prior}, \\ {\hat{p}}_{i - 1} < {\hat{p}}_{i}, \\ a_{i} > 0, \\ b_{i} > 0 . \end{matrix}

(18)

取满足式（18）约束的a_i、b_i作为超参数，其中，令a₁=b₁=1，通过式（14）~（17）使用内点法求得a₂与b₂，同理可求得a₃、b₃至a_k、b_k，通过不断更新优化可取得各阶段下最优超参数^[10]。
在求得超参数后，可根据式（16）计算求得失效概率估计 ${\hat{p}}_{i} （ i = 1，2 ， 3 \dots k ）$ ，结合样本失效数据（t_i，n_i，r₌，s_i），令 ${\hat{y}}_{i} = l n [- l n (1 - {\hat{p}}_{i})] ， x_{i} = l n t_{i} ， b = m l n η ，$ 将威布尔曲线拟合为y=mx-b，根据加权最小二乘法^[11]，通过最小化拟合误差平方 $Q = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} \times {(y_{i} - m x_{i} + b)}^{2} ，$ 此时对应的m、η的估计值即为 $\hat{m} ， \hat{η}$ 。加权系数ω_i为

ω_{i} = \frac{n_{i} t_{i}}{\sum_{j = 1}^{k} (n_{j} t_{j})} .

(19)

令 $A = \sum_{i = 1}^{k} (ω_{i} x_{i}) ， B = \sum_{i = 1}^{k} (ω_{i} x_{i}^{2}) ， C = \sum_{i = 1}^{k} (ω_{i} \times {\hat{y}}_{i}) ， D = \sum_{i = 1}^{k} (ω_{i} x_{i} {\hat{y}}_{i}) ， \hat{m} ， \hat{η}$ 分别为

\hat{m} = \frac{D - A C}{B - A^{2}}, \hat{η} = e x p (\frac{A D - B C}{D - A C})

(20)

通过式（3）和式（20）可求得该估计方法下的可靠度 $\hat{R} （ t ）$ ，表示为

\hat{R} (t) = e x p [- {(\frac{t}{\hat{η}})}^{\hat{m}}] .

(21)

2.2 EBWL可靠度区间估计
通过点估计和区间估计的配合，可以有效降低估计结果的不确定性。如果点估计与区间估计所用算法思路不同，则会出现“脱节”问题^[12]。为此，延续上述点估计思想，融合贝叶斯理论与配分布曲线法，同时结合文献^[11]、^[12]中的经验，给出以下区间估计方法，步骤如下。
（1）根据式（15）~（17）失效概率的后验分布及点估计，在置信水平（1-α）下，定义G（x; r_i，s_i，a_i，b_i）为

G (x; r_{i}, s_{i}, a_{i}, b_{i}) = \frac{I_{x} (a_{i} + r_{i}, s_{i} + b_{i} - r_{i})}{B (a_{i} + r_{i}, s_{i} + b_{i} - r_{i})} = 1 - α .

(22)

其中， $I_{x} （ a ， b ） = \int_{0}^{x} t^{a - 1} （ 1 - t ）^{b - 1} d t_{0}$
经过求解式（22）所得x值即为p_i的置信上限，记为 $p_{i}^{u}$ 。
（2）由于m的取值有限^[11]，故直接取点估计值 $\hat{m}$ ，对η估计其置信下限η_L。当 $Q_{L} = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} (y_{i}^{u} - {\hat{m} x_{i} + \hat{m} l n η)}^{2}$ 最小时，取η_L值为

η_{L} = e x p [\sum_{i = 1}^{k} ω_{i} (x_{i} - \frac{y_{i}^{u}}{\hat{m}})] .

(23)

其中，x_i=lnt_i， $y_{i}^{u}$ =ln[-ln（1- $p_{i}^{u}$ ）]。
（3）由式（23）进一步可得t时刻的可靠度在置信水平（1-α）下的置信下限为

R_{L} (t) = e x p [- {(\frac{t}{η_{L}})}^{\hat{m}}] .

(24)

3 FCV车辆的供氢系统设备数值分析
3.1 数值模拟试验
通过蒙特卡罗仿真模拟试验和特定的截尾处理，获得符合研究的服从威布尔函数的多重定时截尾数据^[12]。假定各设备之间独立同分布，从尺度不变性的角度来看，设置η=10000，并结合m=1.2或m=2.8随机生成符合威布尔分布的n个（n=20或n=100）失效时间t_i。设定 $\sum_{i = 1}^{k} r_{i} = 3$ ，满足高度右截尾特点。将剩余的n-3个数据结合随机数u_i作为截尾数据，u_i∈U（0，1）。通过模拟试验进行1000次计算。针对参数估计结果，引入偏差b和均方误差R_MSE的计算来衡量算法的优越，具体结果见表1。
对比偏差和均方误差结果，在形状参数设置值一定的情况下，增大样本量时，MLE和LSE的偏差和均方误差均有较大增长，相比之下EBWL的变化很小，体现其在较大样本、小样本的情况下都具有较好的精度。其次，在形状参数不同的情况下，EBWL的数值波动对比之下不明显，表明EBWL对于形状参数数值并无特别明显偏好。综合看来，EBWL对于不同的多重定时截尾样本适应性较好，一定程度上可避免过拟合情况，推广能力较优。
表1 参数估计偏差与均方误差结果
Table1 Parameter estimation Bias and mean square error results
3.2 冷却回路风扇可靠度估计
为验证所提出方法的有效性和在制定检验测试策略上的可行性，以供氢系统中冷却回路的风扇为研究对象，不失一般性，选用了相似设备类型的70台风扇的测试数据为建模数据集^[13]，因为该型风扇运行环境与FCV相似且功能相同。基于该可用的数据集来说明EBWL方法的应用步骤并与常见估计方法进行比较，具体数据见表2。
根据EBWL进行计算得参数 $\hat{m}$ 与 $\hat{η}$ 的值分别为0.7075和88231。由图1（失效概率数据）可知，EBWL算法和失效概率估计结果满足次序性要求。为进行比较，同样将其他常见方法及文献^[8]所用方法按表2数据进行计算，分别得到极大似然估计值为 $\hat{m}$ =1.3350， $\hat{η}$ =16565，最小二乘法对应的估计值为 $\hat{m}$ =1.6288， $\hat{η}$ =9336，文献^[8]中估计值 $\hat{m}$ =0.8821， $\hat{η}$ =52894，4种方法所估计的可靠度曲线见图2。另外对期望贝叶斯和分层贝叶斯的失效概率估计进行计算，由图3可看出，传统贝叶斯的失效概率是不满足次序性的，也证明了二者的方法不适用。
表2 冷却回路风扇失效数据
Table2 Cooling circuit fan failure data
由表2可知，监测早期的失效设备数量较多，监测后期的失效数量较少。与此同时观察图2，EBWL与文献^[8]中所用方法在监测早期相较于MLE估计值较低，而在监测后期的估计值则高于MLE，该走势与失效数据的失效情况基本吻合。根据后续观测，后期风扇的运行较稳定，可见EBWL优于文献^[8]中算法。另外，从图2中曲线走向趋势来看，LSE方法过于乐观，与实际情况相差较大，符合LSE误差最大的现象。通过这4种点估计方法计算冷却系统的风扇B10时对应的t值分别为t_EBWL=3667 h、t_LSE=23450 h、t_MLE=3070 h、t_article=3425 h，按照EBWL算法所提供结果并结合工厂的具体运行周期等因素综合决策，可以合理延长检修时间，从而降低检修成本。
图1 EBWL失效概率估计
Fig.1 Failure probability estimation for EBWL
图2 不同方法可靠度估计结果
Fig.2 Reliability estimation results of different methods
图3 期望贝叶斯及分层贝叶斯失效概率估计
Fig.3 Failure probability estimation for EBM and HBM
区间估计下限是保守的估计值，在不考虑成本的前提下较点估计更能保证设备可靠性。在置信水平1-α的条件下，区间估计结果如图4所示。仍以B10为判定依据，置信下限在2205 h发出警报会比点估计的3667 h提前40%到达警戒值，为氢燃料电池汽车获取可靠性指标^[14]、制定维修手册、设置客户售后检修周期提供了关键理论支撑，从而保证在降低全周期维保成本的同时，保障了供氢关键设备可靠性和提高了PEMFC系统的安全性。
图4 可靠度置信下限估计
Fig.4 Estimation of lower confidence limits for reliability
4 结束语
所提出的EBWL方法融合最大熵理论在建模阶段保证次序性，并通过实例验证EBWL较传统贝叶斯的优势；设置模拟试验验证了EBWL较经典方法LSE和MLE对于多重定时右截尾数据更具精度和稳定性；为保证一致性，EBWL设计了区间估计方法，涉氢企业可将设备关键度和风险等级作为使用点估计或区间估计的选择依据，合理使用两种估计值，从而有针对性地精确制定维修策略^[15]；本文应用的局限性在于EBWL建立在设备只存在单一失效情况下，在应用中要首先明确设备失效是否符合方法前提，实际的工程活动中一批设备还可能存在多种失效混合，此时应建立新的估计框架。未来将结合设备混合失效情况以及人因^[16]进行研究，使FCV设备可靠度估计体系更加完善。
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基本信息

中图分类号: X937
文献标识码: A
DOI: 10.3969/j.issn.1673-5005.2025.06.019
文章编号: 1673-5005(2025)06-0191-06

基金信息

国家重点研发计划项目(2019YFB2006305)；

引用信息

王海清，王丹，袁卫华，等.基于多重定时截尾数据的FCV供氢系统设备可靠性建模与维修优化[J].开云电竞投注学报（自然科学版），2025，49（6）：191-196.

WANG Haiqing, WANG Dan, YUAN Weihua, et al. Equipment reliability modeling and maintenance optimization for FCV hydrogen supply system based on multiple timing censored data [J]. Journal of China University of Petroleum (Edition of Natural Science)，2025，49（6）：191-196.

稿件历史

收稿日期: 2025-02-09

参考文献

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基于多重定时截尾数据的FCV供氢系统设备可靠性建模与维修优化

Equipment reliability modeling and maintenance optimization for FCV hydrogen supply system based on multiple timing censored data

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 威布尔分布模型及点估计方法

1.1 寿命试验及威布尔分布模型

(1)

(2)

(3)

1.2 现有点估计方法

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 融合最大熵理论的EBWL方法及算法流程

2.1 EBWL可靠度点估计

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2.2 EBWL可靠度区间估计

(22)

(23)

(24)

3 FCV车辆的供氢系统设备数值分析

3.1 数值模拟试验

3.2 冷却回路风扇可靠度估计

4 结束语

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献